अनंत लंबाई के सीधे तार,जिसकी रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ है,के कारण विद्युत क्षेत्र के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।
(N/A) मान लीजिए कि एक अनंत लंबाई का पतला सीधा तार है जिसका रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ है।
सममिति के कारण,तार से $r$ त्रिज्यीय दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर (यदि $\lambda > 0$) या अंदर की ओर (यदि $\lambda < 0$) होगी।
विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए,हम तार के अक्ष के साथ $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई का एक बेलनाकार गाऊसीय पृष्ठ चुनते हैं।
गाऊसीय पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ गाऊस के नियम द्वारा दिया जाता है:
$\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
बेलन के दो सपाट वृत्ताकार सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि वहां विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के क्षेत्रफल सदिश $d\vec{A}$ के लंबवत है (अर्थात $\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$)।
वक्र सतह के लिए,$\vec{E}$ हर बिंदु पर सतह के लंबवत है,इसलिए $\vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA$।
अतः,$\phi_E = E \times (2 \pi r l)$।
गाऊसीय पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{enclosed} = \lambda l$ है।
गाऊस का नियम लागू करने पर:
$E(2 \pi r l) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$
$E$ के लिए हल करने पर:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$
सममिति के कारण,तार से $r$ त्रिज्यीय दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर (यदि $\lambda > 0$) या अंदर की ओर (यदि $\lambda < 0$) होगी।
विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए,हम तार के अक्ष के साथ $r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई का एक बेलनाकार गाऊसीय पृष्ठ चुनते हैं।
गाऊसीय पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ गाऊस के नियम द्वारा दिया जाता है:
$\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
बेलन के दो सपाट वृत्ताकार सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि वहां विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के क्षेत्रफल सदिश $d\vec{A}$ के लंबवत है (अर्थात $\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$)।
वक्र सतह के लिए,$\vec{E}$ हर बिंदु पर सतह के लंबवत है,इसलिए $\vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA$।
अतः,$\phi_E = E \times (2 \pi r l)$।
गाऊसीय पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ आवेश $q_{enclosed} = \lambda l$ है।
गाऊस का नियम लागू करने पर:
$E(2 \pi r l) = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}$
$E$ के लिए हल करने पर:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$
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निम्नलिखित स्थितियों के लिए विद्युत क्षेत्र का व्यंजक प्राप्त कीजिए:
$(i)$ अनंत आकार की और समान आवेश वितरण वाली समतल शीट।
$(ii)$ समान आवेश वितरण वाली पतली गोलीय कोश के बाहर किसी बिंदु पर।
$(iii)$ समान आवेश वितरण वाली पतली गोलीय कोश के अंदर किसी बिंदु पर।
$(i)$ अनंत आकार की और समान आवेश वितरण वाली समतल शीट।
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$1.$ $r=R$ पर विद्युत क्षेत्र
$(A)$ $a$ से स्वतंत्र है
$(B)$ $a$ के सीधे आनुपातिक है
$(C)$ $a^2$ के सीधे आनुपातिक है
$(D)$ $a$ के व्युत्क्रमानुपाती है
$2.$ $a=0$ के लिए,$d$ का मान (चित्र में दिखाए गए अनुसार $\rho$ का अधिकतम मान) है
$(A)$ $\frac{3Ze}{4\pi R^3}$ $(B)$ $\frac{3Ze}{\pi R^3}$ $(C)$ $\frac{4Ze}{3\pi R^3}$ $(D)$ $\frac{Ze}{3\pi R^3}$
$3.$ नाभिक के भीतर विद्युत क्षेत्र सामान्यतः $r$ पर रैखिक रूप से निर्भर देखा जाता है। इसका अर्थ है
$(A)$ $a=0$ $(B)$ $a=\frac{R}{2}$ $(C)$ $a=R$ $(D)$ $a=\frac{2R}{3}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ $r=R$ पर विद्युत क्षेत्र
$(A)$ $a$ से स्वतंत्र है
$(B)$ $a$ के सीधे आनुपातिक है
$(C)$ $a^2$ के सीधे आनुपातिक है
$(D)$ $a$ के व्युत्क्रमानुपाती है
$2.$ $a=0$ के लिए,$d$ का मान (चित्र में दिखाए गए अनुसार $\rho$ का अधिकतम मान) है
$(A)$ $\frac{3Ze}{4\pi R^3}$ $(B)$ $\frac{3Ze}{\pi R^3}$ $(C)$ $\frac{4Ze}{3\pi R^3}$ $(D)$ $\frac{Ze}{3\pi R^3}$
$3.$ नाभिक के भीतर विद्युत क्षेत्र सामान्यतः $r$ पर रैखिक रूप से निर्भर देखा जाता है। इसका अर्थ है
$(A)$ $a=0$ $(B)$ $a=\frac{R}{2}$ $(C)$ $a=R$ $(D)$ $a=\frac{2R}{3}$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
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